수학 속 숨겨진 또 하나의 세계, 복소수의 정체는?
📌 실수만 있는 줄 알았다고요?
우리가 평소에 쓰는 숫자들 ― 1, 0, -5, 3.14, √2 등은 모두 **실수(實數)**입니다.
그런데 수학에는 실수로는 설명할 수 없는 수가 있어요. 예를 들어:
√-1 = ?
이 값은 실수 범위에서는 존재하지 않아요.
왜냐하면 어떤 실수도 제곱해서 음수가 될 수 없기 때문이죠.
그래서 수학자들은 새로운 개념을 만들어냈습니다.
그게 바로 **복소수(複素數, Complex Number)**입니다.
🌟 복소수의 정의
복소수는 **실수와 허수(虛數)**를 합쳐서 만든 수입니다.
형식은 다음과 같아요:
- a: 실수 부분 (예: 2, -3, 0.5 등)
- b: 허수 계수 (i가 붙는 숫자)
- i: 허수 단위, i² = -1 이라는 성질을 가짐
예시
3 + 2i,
-1 - 4i,
5i (이건 실수 부분이 0)
🔍 허수(i)는 왜 생겼을까?
i는 단순히 상상의 숫자가 아니라,
수학 문제를 더 폭넓게 해결하기 위해 도입된 개념이에요.
예를 들어 x² + 1 = 0 이라는 방정식을 풀려고 하면?
x² = -1
→ x = √-1 → 실수로는 못 풂
하지만 i를 도입하면,
x = ±i
이렇게 문제를 해결할 수 있게 되는 것이죠.
💡 복소수는 어디에 쓰이나요?
생각보다 복소수는 현실에서도 많이 쓰여요!
✅ 전기공학
교류(AC) 전류는 진폭과 위상이 있어서, 복소수로 표현하면 계산이 편리합니다.
전압과 전류를 복소 평면 위에서 다루는 게 핵심!
✅ 물리학
파동, 진동, 양자역학 등에서 복소수는 필수적인 수학 도구입니다.
✅ 컴퓨터 그래픽
프랙탈(Fractal) 이미지나 카오스 이론에서도 복소수를 사용해요.
🧮 복소수 계산, 어렵지 않아요!
복소수끼리도 사칙연산(+, −, ×, ÷) 이 가능합니다.
예시:
1️⃣ (2 + 3i) + (1 − 2i) = (2+1) + (3i−2i) = 3 + i
2️⃣ (3 + 2i) × (1 − i)
= 3×1 + 3×(−i) + 2i×1 + 2i×(−i)
= 3 − 3i + 2i − 2i²
= 3 − i + 2 → (i² = -1 이므로 −2i² = +2)
= 5 − i
📊 복소수는 평면에서도 표현 가능!
복소수는 좌표평면에서 한 점으로 나타낼 수 있어요.
- x축 = 실수 부분 (a)
- y축 = 허수 부분 (b)
즉, 복소수 a + bi는 (a, b)라는 좌표로 표현되는 거죠.
이 평면을 복소평면(complex plane) 또는 가우스 평면이라고 부릅니다.
🧠 마무리: 복소수는 왜 중요할까?
복소수는 현실의 물리적 세계보다는
수학의 가능성과 표현 범위를 넓혀주는 도구예요.
눈에 보이지 않는 파동이나 에너지의 흐름처럼
추상적이고 복잡한 개념을 표현할 때
복소수는 강력한 언어가 되어줍니다.
수학이 단순 계산을 넘어서
세상을 이해하는 언어라면,
복소수는 그 언어의 문법을 확장해주는 숨은 주역인 셈이죠!
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